Matematik Nedir? Çeşitli Dalları Mantık ve Kümeler Kuramı

Tümdengelimli akılyürütme yoluyla, sayı, biçim, küme, vb. kavramların özelliklerini ve bunlar arasındaki bağ­lantıları inceleyen bilim dalı.

Mantık ve Kümeler

MANTIK, matematiğin bir dalı mıdır, değil midir? Mantığın matematikleştirilmesi ve matematiğin mantıklaştırılması, almaşık bir biçimde ya da ay­nı anda felsefecilerle matematikçile­ri harekete geçirmiştir. Mantık, ma­tematiksel kuramlar için gerekli bir başlangıç sayılır.

KÜMELER KURAMI, matematiksel yapının temelidir ve şu ana görüşün incelenmesinden oluşur: Yapıları ne olursa olsun her nesneler topluluğu kendi içinde ya da başka topluluklar­la bağlantılıdır. Matematikçiler, felse­feciler, vb. uzun süredir, kümeler ku­ramının aküyürütme biçimini, özellik­le de “öğelik” (aidiyet) ve “içinde ol­ma” kavramlarına bağlı akılyürütme biçimini kullanmaktadırlar. Kümeler kuramının bu özelliği hiçbir zaman yadsınmadı; bu, Cantor’un verdiği ve yapıtına karşı büyük tepkilere neden olacak, üstelik son derece bulanık olan tanım (küme teriminden sezgimiz ya da düşüncemizde, iyice ayrı nesne­lerin bir bütün halinde öbekleşmesi anlaşılır) değildir. Ama kümeler kura­mının geliştirilmesi Cantor’u bir baş­ka kavramı belirtmeye yöneltti; Bu, sonsuzluk probleminin yeni bir bakış açısmdan göz önüne alınmasını zorun­lu kılan sayal sayı kavramı, yani bir kümeye bağlı büyüklük ya da üst kavramıydı.

Güçlükler tümüyle giderilemediğin­den, kümeler kuramı şimdilik, mate­matiğin açıklamalı bir sunuluşu için­de, mantıktan hemen sonra yer alır.

Çeşitli Dallar

ARİTMETİK, eskiden beri, sayılar bi­limi olarak tanımlanır. Daha açık bir biçimde, üç özel kümenin incelenme­sidir: N pozitif ya da doğal tamsayı­lar kümesi (N = (0,1,2,3,… 1); Z bağıl pozitif ve negatif tamsayılar kümesi (Z = {…, -2, -1,0, +1, + 2,…}, eskiden cehirsel küme denirdi); Q rasyonel sa­yılar kümesi (Q, | biçimindeki sayı­lar kümesidir; a ve b.Z kümesine ait­tir). Bu inceleme yalınlıktan kurtulun­ca sayılar kuramı adını alır; ancak söz konusu iki alan arasındaki sınır henüz iyice belirlenmemiştir.

Yavaş yavaş pratik hesaptan kurtulan sayılar kavramı giderek soyut bir ni­telik kazandı. N doğal tamsayılar kü­mesi, üstünde önce toplama, daha sonra da çarpma gibi toplamadan do­ğan öbür işlemlerin yapıldığı, bilinen en eski kümedir: N kümesinden baş­layarak Z ve Q kümeleri oluşturuldu. N kümesi, bütün cebire örnek oldu. Tamsayılar kavramı, iki küme arasın­daki denklik kavramıyla ilişkilidir; bu bağ,aritmetik ile kümeler kuramı ara­sındaki sınırı belirler.

CEBİR, bazı uzmanlara göre denklem­lerin çözümlenmesidir; bazıları için­se cebir yapmak, her şeyden önce he­saplamaktır. Gerçekten de, XX. yy’ın başlarına kadar cebir, özellikle klasik işlemlerin ve cebirsel denklemlerin çözümünün incelenmesiydi. Klasik olarak nitelenen bu cebir, bir yandan hesaplarını N,Z ve Q’dan başka sayı kümelerinin üstünde yapması, öte yandan bu hesapları sayısal değerler­le değil de harflerle gerçekleştirmesi bakımından aritmetikten ayrılıyor­du.

Demek ki cebir, Newton’un dediği gi­bi, “evrensel bir aritmetik”ti ve hâlâ da öyledir. Bu, aritmetiğin, kümeler kuramına dayanan bir genelleştiril­mesidir. Günümüzde ister modern, is­ter arı ya da soyut olarak nitelendi­rilsin cebirin ana konusu, yapıların in­celenmesi, yani bir ya da birden çok küme üstünde tanımlanmış olan, iç ya da dış bağıntıların,işlemlerin ve bileşim yasalarının incelenmesidir. Baş­lıca cebirsel yapılar, gruplar, halka­lar, cisimler ve vektör uzaylarıdır. N kümesiyle sınırlı işlemlerden, bu işlemlerin,hiçbir sayısal özelliği bulun­mayan küme öğelerine uygulanması­na giden soyutlama yöntemi,matema­tikçilerin çağdaş cebirin şu temel dü­şüncesine ulaşmalarını sağladı; Ma­tematiksel varlıklar, kendi başlarına, bağıntılarından daha az hesaba katı­lırlar. Bu durumda, cebirin amacı,bir kümenin genel özelliklerinin yalnız ya­pısı açısından tanınması için, sınırlı sayıdaki aksiyomların (belitler) tüm sonuçlarını çıkarmaktır. Küme yapı­sı kavramının bu derinleştirilmesi ve her yerden çok cebirde egemen olan aksiyomatik yöntem, belirsiz ya da tam anlamıyla sezgisel kavramların açık bir biçimde formülleştirilmesini, karışmış kavramların birbirinden ay­rılmasını, ancak özel haller olarak ele alman bazı problemlerin genelliğinin ortaya çıkarılmasını sağlar.

Cebirin en çok bilinen dalı, vektör uzaylarım inceleyen doğrusal cebir­dir. Bu, cebirin, günümüzde, evrensel olarak iktisatçılar, mühendisler, fizik­çiler, vb. tarafından kullanılan tek bö­lümüdür. Bu bölümün kökeni, ax = b türündeki bir denklemle çözülen prob­lemlere dayanır. Doğrusal cebirin bellibaşlı iki aracı matris hesabı ile tansör hesabıdır.

Kendisi de Z tamsayılardan (verilen örnekteki 2 ve 3) hareketle oluşturu­lan Q kesirli sayılar kümesinden

(| = 0,666) başlayarak, R gerçek sa­yılar kümesinin (sözgelimi 0,666) ku­rulması, cebiri çözümlemenin sınırına götürür. Geometrideki gereksinimden doğan bu kuruluş, tamsayılara özgü olan süreksiz ile R’ye (2’nin 3’e bölü­münü sonsuza kadar götürme olana­ğı vardır: 0,666 666 666…) bağlı sü­rekli arasmda bir köprü kurar. Ger­çekten de R, geometrideki doğruyla eşyapılıdır; yani bir doğrunun her noktasına gerçek bir sayı denk düşü­rülebilir, ya da bunun tersi geçerli olabilir.

ÇÖZÜMLEME (ANALİZ), matema­tikte belirsiz bir sözcüktür; çünkü hem akılyürütmeden, mantıktan, matema­tikten kaynaklanan çözümsel yöntemi, hem de sonsuz küçükler çözümleme­sini belirtir. Üstelik sonsuz küçükler çözümlemesi,adma karşm, problemle­ri çözmek için yalnız çözümsel yöntem kullanmaz. Her bilim gibi, çözümleme­den olduğu kadar bireşimden de ya­rarlanır.

SONSUZ KÜÇÜK ÇÖZÜMLEMESİ, bir yandan, diferansiyel hesabın ko­nusu olan sonsuz küçüklerin oranla­rıyla, öte yandan integral hesabm ko­nusu olan sonsuz sayıdaki toplamla­rıyla uğraşır. Matematiksel çözümle­menin kökeni geometrik problemler­dir: Bir eğrinin teğetlerinin incelenmesi diferansiyel hesabm; alanların hesabı (dördülleme) ve hacimlerin he­sabıysa (küpleme) integral hesabm te­melidir. Demek ki çözümlemeyle geometri birbirine çok bağlıdır; ama çö­zümleme gerçek sayılar kümesinin ya­pısına benzer bir yapıya sahip küme­ler üstünde çalışır; bu da, çözümleme­yi cebire bağlar. Limit ve süreklilik kavramları matematiksel çözümleme­nin merkezinde yer alır. Her ne kadar çözümleme, artık XVIII. yy’daki gibi, üstün durumda değilse de, uygulamalı matematiğin her alanında (fizik, tek­nik, vb.) vazgeçilmez bir araç olarak kalmıştır.

GEOMETRİ, matematiğin, uzayın özel­liklerini araştırmaya yönelik bölümü­dür. Aritmetikle birlikte, Röne­sans’a kadar, matematiğin temeli­ni oluşturan geometri önceleri bir gözlem bilimiydi. İnsan, başlangıçta doğanın kendisine sunduğu yalın ge­ometrik biçimlerin doğrudan doğruya algılanabilen özelliklerini inceledi. Sözgelimi, bir yerden öbürüne giden en kısa yolun,doğru çizgi olduğunu ve bir dairenin tüm noktalarının merkez­den eşit uzaklıkta bulunduğunu gözle­di. Daha sonra, dairenin çevresiyle çapım, bir üçgenin kenarlarının uzun­luklarını karşılaştırdı ve uzayın algı­lanabilir özelliklerinden çıkarılan kav­ramlar yardımıyla eukleidesçi geo­metriyi kurarak yeni biçimler buldu. Gerçekten de, az sayıdaki birkaç te­mel aksiyomdan başlayarak ilk tutarlı sistemi hazırlayan, Yunanlı Eukleides (İ.Ö. III. yy. başı) oldu.

Çağdaş dönemde eukleidesçi olma­yan geometriler ortaya çıktı. Euk­leidesçi olmayan geometri denmesinin nedeni, Eukleides geometrisinin temel aksiyomunun (“bir doğrunun dışında­ki bir noktadan bu doğruya bir ve yal­nız bir paralel çizilebilir”) bilinçli ola­rak reddedilmesidir. Böylece, Riemann (1826-1866) doğrunun sonsuz­luk niteliğini yadsıdı. Riemann geo­metrisinde, bir düzlemin iki doğrusu, bir doğru ve bir düzlem her zaman ke­sişirler; paraleller yoktur. Riemann’ m tersine Lobaçevski (1792-1856), düzlem içinde, kesişmeyen doğruların bulunduğunu öngerçek olarak kabul etti ve şu aksiyomu ileri sürdü: “Bir doğru ve bir noktamn belirlediği düz­lemde, verilen doğruyu kesmeyen en az iki doğru bu noktadan geçer.” Euk­leidesçi olmayan çeşitli geometrilerin derinlemesine incelenmesi, bu geo­metrilerle eukleidesçi geometri ara­smda temel yapı farklarının bulun­madığım göstermiştir.

Son olarak şu üginç gerçeği de belirt­mek gerekir: Başlangıçta üstün yete­nekli matematikçilerin gerçekdışı var­sayımları olarak düşünülen bu geo­metriler, özellikle fizik alanında ve çok kesin bir biçimde de bağıl uzayı canlandırmak bakımından, önlerinde geniş bir uygulama alam buldular Sonsuz küçük içindeki nükleer kuram­larının uzayı; sonsuz büyük içindeki evrenoluş kuramlarının uzayı. Demek ki, geometriler uzayın özelliklerini in­celerler.

TOPOLOJİ, geometrideki sürekliliğin ve bu sürekliliğin dönüşümlerde ko­runmasının incelenmesidir. Riemann’ m yarattığı ve analysis situs (uzayın çözümlemesi) adını verdiği topoloji, çözümleme ve geometrinin sınırını oluşturur. Niceliğin bulunmadığı bu geometri tamamıyla nitel bir geomet­ridir. Topolojide iki biçim, birinden öbürüne sürekli bir biçim değişikliğiy­le geçilebilirse, eşdeğerdir. Böyle­ce, bir daire,bir elipse ya da herhan­gi kapalı bir eğriye eşdeğer olduğu halde, bir doğru parçasına eşdeğer değüdir; çünkü bu parça kapalı değil­dir. Topolojinin bağımsız bir bilim dalı olarak gelişmesini sağlayan Poincare (1854-1912) olmuştur.

TRİGONOMETRİ, sözcüğün kökeni bakımından, “üçgenlerin ölçülmesi” anlamına gelir. Trigonometrinin konu­su bir üçgenin, daha genel olarak, bir çokgenin kenarlarını ve açılarını de­ğerlendirmektir. Hesabın geometriye basit uygulaması olan trigonometri, açıları, bunları niteleyen sayılarla birleştirir. Bu sayılar (sinüs, kosinüs, tanjant), çoğu kez ve çok yanlış olarak “trigonometrik doğrular” biçiminde adlandırılır. Trigonometri, geodezinin ve konum gökbiliminin ya da gökölçümünün temel aracıdır.

OLASILIKLAR HESABI, matematiğin, belirsiz olayların sıklığını inceleyen dalıdır. XIX. yy’dan başlayarak hızla gelişen olasılıklar hesabı, birçok bilim ve teknik için vazgeçilmez hale gelmiş­tir.

Laplace (1749-1827), Theorie analytique des probabilites (Olasılıkların Çö­zümsel Kuramı, 1812) adlı kitabında, bu bilimin büyük ilkelerini ortaya koy­du ve uygulamalı matematiğin bir dalı olan istatistikle bağlantısı bulunduğu­nu kesinleştirdi. Nüfusbilim, iktisat, temel fizik, sana­yi teknikleri, biyoloji, vb. alanlarda yararlanılan istatistik de büyük bir hızla gelişti.