Geometri Nedir? Nasıl Ortaya Çıkmış ve Gelişmiştir?

Geometri Nedir? Nasıl Ortaya Çıkmış ve Gelişmiştir? 2,3, hatta n boyutlu uzayın özelliklerini inceleyen matematik dalı. Tarihsel olarak, geometri, Nil ırmağının her yükselişinde karşılaşılan alan ölçümü problemleriyle ilişkili deneyimsel bir bilim olarak ortaya çıktı ve Pythagoras, Thales, Eudoksos’un çalışmalarıyla, yavaş yavaş deney ve uygulamalardan koparak soyut ve özerk bir bilim dalı olmaya yöneldi. Günümüze ulaşmış ilk matematik yapıtı olan,Eukleides’in Stoikheia’sının (Elemanlar) ortaya çıkışı, İsa’ dan üç yüzyıl önce bile geometrinin çok kuramsal olduğunu gösterir. Kuşkusuz o dönemdesözkonusuolan, fiziksel gerçeği en iyi biçimde gösteren bir model yaratmaktı. Ama bu model, ancak, gereğince kesin olarak belirtilmiş bir belitler (aksiyom) sistemine ve gene kesin bir biçimde açıklanmış mantık kurallarına baş-vurmaktaydı. Bu bakış açısı, yüzyıllar süresince yozlaştırıldı ve geometri, Gauss döneminde mekanik gibi yeniden deneysel bir bilim dalı olarak göz önüne alınmaya başlandı. Geometrinin altın çağı, Eukleides’in ardından gelen Arkhimedes ve Perge’ li Apollonios’un çalışmalarıyla yaklaşık iki yüzyıl sürdü. Özellikle, konikler kuramı çok yüksek bir düzeye erişti. İncelenen özellikler, açılara ve uzaklıklara bağlı olarak, metrikti. Ayrıca daire ve küre de ele alınmıştı.

CEBİRİN VE ANALİZİN KATKISI

Geometrinin tarihi XVII. yy’a kadar önemli ilerlemeler içermez. Bu çağda geometri bağımsızlığını yitirerek cebir ve analiz (çözümleme) gibi matematiğin başka dallarında gelişmiş olan yöntemlerden esinlenmeye başladı. Daha sonra da cebirsel geometri (yanlış olarak analitik geometri denir) ile diferansiyel geometriye (limit kavramına başvurur) ayrıldı. Cebirin temel katkısı, Rene Descartes ile Pierre de Fermat’nın etkisiyle koordinat eksenlerinin kullanılmasıdır. Bir düzlem içinde, yöndeş iki eksenin (birbirine dik olması gerekmez) seçimi, düzlemin her noktasının bir gerçek sayılar çiftiyle gösterilmesini sağlar. Bir geometri problemi tam anlamıyla cebirsel biçimde anlatılabilir, bu da işlemin hesap yoluyla yapılmasını sağlar.

Sözgelimi, iki cebirsel eğrinin kesişme noktası, iki bilinmeyenli iki cebirsel denklemden oluşmuş bir sistemin çözümüyle saptanır. Modern geometri dönemi olan XIX. yy. boyunca,hesapların açıklan-masından kaçınılmıştır. Modern matematiğin yaygın olduğu günü-müzdeyse, hesapların yerini, düzlem ya da üç boyutlu uzay durumu dışında geçerli olan, daha genel düzeydeki soyut bir düşünme düzeninin almasına çalışılmaktadır. Diferansiyel geometri, XVII. yy’ın ikinci yarısında Nevvton ve Leıbniz’in ortaya attığı sonsuz küçük hesabı tekniklerini kullandı. Bu teknikler, özellikle türev alma, integral alma, diferansiyellerin kullanımı ve daha genel olarak da fonksiyonların yaklaşık gösterimidir. Diferansiyel geometri, eğrilerin ve yüzeylerin bölgesel incelenmesini kapsar: Değme, zarflar ve özellikle eğrilerin metrik incelenmesi (uzunluk, eğrilik, bükülme). Geometrinin bu kolunun gelişmesini XIX. yy’da Gauss sağladı, kesin biçiminiyse B. Riemann, diferansiyel tür kavramı sayesinde verdi. İzdüşüm geometrisi, işin içine sonsuz sayıdaki öğelerin katılması ve gerçek sayılar cismi yerine karmaşık sayılar cisminin kullanılmasıyla temel geometride raslanan durumların bireşimini gerçekleştirdi.

Böylece iki ayrı doğrunun her zaman, gerektiğinde sonsuzda olan, bir ve yalnız bir ortak noktası vardır. İki farklı koniğin, gerçek ya da sanal, ayrı ya da karışık, gerektiğinde sonsuzda olan dört ortak noktası bulunur. Özellikle iki farklı dairenin arakesiti, ikisi sonsuzda olan dört noktadan oluşur; bunlara çevrimsel noktalar denir. j.V. Poncelet’nin önerdiği belitsel yöntemin yalnızca tarihsel bir önemi vardır.

EUKLEİDESÇİ GEOMETRİ VE EUKLEİDESÇİ OLMAYAN GEOMETRİLER

Matematiksel buluşlar bakımından zengin olan XIX. yy., kabul edilmiş düşüncelerin eleştirel açıdan gözden geçirilmesiyle de dikkati çekti. Bu arada Eukleides’in Elemaniar’ı da gözden geçirildi. Gerçekten de, belitleştirilen her kuramda, belitlerin birbirlerinden bağımsızlığı araştırılıyordu. Oysa Eukleides’in önerdiği belitlerden biri sezgisel niteliği açısından özellikle dikkati çekti. Bu belit, beşinci postulat ya da yanlış olarak Eukleides postulatı adıyla bilinir.

Bu postulat şöyle belirtilebilir: Her noktadan belirli bir doğruya bir ve yalnız bir koşut (paralel) çizilebilir. Eukleides’in öbür belitlerinden, beşinci postulatın çıkarılması için pek çok girişimde bulunuldu. Özellikle F. Bolyai ve N. Laboçevskiy, birbirlerinden bağımsız olarak, beşinci postulat yerine karşıtını koyarak tutarsızlığı göstermek istediler. Bir başka deyişle, belli bir noktadan belli bir doğruya bir koşutun var olduğunu ve bunun tek olduğunu benimsemediler. Ama, beklenmedik biçimde, deneye aykırı olarak bir çelişkiye düşülmedi ve o tarihten sonra eukleidesçi geometriden başka,beşinci postulatla çelişkili bir beliti işin içine sokan eukleidesçi olmayan geometriler de göz önüne alınmaya başlandı. Eukleidesçi olmayan geometrilerin en tanınmış olanları Lobaçevskiy ile Riemann geometrileridir. Riemann, bağıllık kuramında büyük bir rol oynamıştır; bu da eukleidesçi geometrinin ne kadar önemli olursa olsun, Evren’in tek olası gösterimi olmadığını ortaya koydu.
XVIII. yy’ın sonunda, Eukleides belitlerinin topolojik özellikler konusunda yetersiz olduğu ortaya çıktı: Sözgelimi, M. Pasch’a göre, bir üçgenin içindeki bir noktayı bu üçgenin dışındaki bir başka noktaya birleştiren bir eğri parçasının, kenarlardan en az birini kestiğini hiçbir şey doğru-lamaz. Üstelik, merkezlerinin uzaklığı yarıçaplarının toplamından küçük olan iki dairenin boş olmayan bir ara kesiti bulunduğu kanıtlanamaz.
D. Hilbert, bu eleştirilerden kurtulmak için, yeterli bir belit sistemini kesin olarak belirterek bütün Eukleides geometrisini yeniden kurdu. Ama iki bin yıldan uzun bir süre geometri öğretiminin başlangıç noktası olan Eukleides belitlerinin tersine, Hil- bert’in belitleri bir kalkış noktası olmaya elverişli değildi.

TASARI GEOMETRİ

Gene XIX. yy’da G. Monge’un bulduğu tasarı geometri ortaya çıktı. Bu geometri temelde koniklerin ve ikinci düzeyden yüzeylerin (koni, silindir) biçimlerinin somut biçimde gösterilmesini sağlayan çizgisel bir desen tekniğidir.

GEOMETRİ VE GRUPLAR KURAMI

Geometrinin, F. Klein’in (1872) ünlü Erlangen Programı ile kesin görüntüsünü bulması da XIX. yy’a raslar. O dönem için devrimci sayılan bir görüşe göre, geometri, yarım yüzyıl önce Abel ile Galois’mn matematiğe getirmiş-oldukları gruplar kuramıyla bağlantılıdır. Bir G grubu G’nin her öğesi bakışımlı olacak biçimde, etkisiz bir öğeyi kabul eden birleşmeli bir bileşim yasasıyla donanmış bir kümedir. (g,x) — gx olarak gösterilen ve Gx X’in X içinde aşağıdaki koşulları sağladığı gönderime (uygulayım) G’nin bir X kümesi üstündeki işlemi adı verilir: a) G’nin her (g.g’J öğe çifti için ve X’in her x öğesi için, (gg) x=g’ (gx); b) X’in her x’inin her öğesi için, ex=x.G’nin her g öğesi için gx=x ise,X’in bir x öğesi her G için değişmezdir denir. Aynı biçimde, her G için değişmez bağıntılar da tanımlanır.

Dolayısıyla, vektörel geometri doğrusal grubun vektörel bir uzayda işleminin incelenmesidir. Doğrusal bağımsızlık ve sıra, bu grubun oluşturduğu değişmezlerdir. Doğrusal grup yerine özel doğrusal grup konursa, tek modüllü geometri elde edilir. Bu durumda determinant bir değişmezdir. Uzunluğun değişmediği Eukleides geometrisiyle açıların değişmediği yönelmiş Eukleides geometrisi de ayrıcalıklı başlangıcın bulunmadığı durumda aynı biçimde tanımlanır. Öğeleri vektör gibi değil de noktalar olarak göz önüne alman afin uzay kavramına geçilir. O zaman, işlemin koşutluğu ve uzunluk oranlarını koruduğu afin grup tanımlanabilir. Ayrıca afin Eukleides geometrisi, yönelmiş afin Eukleides geometrisi, vb’nin de tanımları yapılabilir.

GRUPLAR KURAMINA BAĞLI OLMANIN SONUÇLARI

Geometrinin bu özelliği üç sonuç doğurmuştur.Önce,çeşitli özellikler arasında, grupların belirli bir küme üstünde etkin olabilme niteliğinden doğan bir ayrılmanın oluştuğu görülür. Artık, koşutluk gibi afin özellikler metrik özelliklerden (açılar, uzaklıklar) ya da izdüşümsel uzaklıklardan ayırt edilmekr tedir. Bundan böyle, bir tek geometri yoktur, geometriler vardır. Geometrinin konusu artık biçimlerin değil, uzayların incelenmesidir. Bu açıdan, bütün uzayların her bir durumda, yeni bir belitler sistemine başvurmadan, yalnız kümeler kuramıyla oluşturulması yeğ tutulur. İşte bu nedenle Eukleides, Hilbert ya da Poncelet belitleri yerine birleştirici bir görünüm sağlayan doğrusal cebir yöntemlerine önem verilmiştir. Öte yandan, tıpkı cebir gibi geometri de gitgide daha soyut olmaktadır.