Logaritma Ondalık Logaritma ve Uygulamaları

Matematikte büyük çarpımları, böl­meleri, kök ve kuvvet almaları ya­pabilmek için sayısal hesaplan yalın­laştırarak, sonuca daha kolay ulaşıl­masını sağlayan yol.

Toplama yapma, çarpma yapmadan kuşkusuz daha kolaydır. Sözgelimi üç rakamlı iki sayının toplamı, en çok dört rakamlıdır; oysa üç rakamlı iki sayının çarpımı altı rakamlı olabilir. Bu durumu kolaylaştırmak amacıyla 1614’te john Napier (ya da Neper), bir çarpım hesabını bir toplamınkine in­dirgeyen bir yöntem önerdi. Bir logaritma fonksiyonu, toplam oluşturan R gerçek sayüar kümesi içindeki çarpım veren R’+ tam artı (pozitif) gerçek sa­yılar kümesinin sürekli bir f yapı dö­nüşümüdür. Bir başka deyişle, her (x,y) tam olarak artı gerçek sayılar çifti için: f(xy) = f(x) + f(y).

Böyle bir yapı dönüşümü, f(xy) sayısı bilinince xy çarpımının oluşturulabil­mesi için, injektif olmalıdır. Nicolaus Mercator’a göre (1668), 1 noktasında

geçersiz olan x—^ fonksiyonu­nu, f olarak almak yeterlidir. Böyle­likle, log ya da İn olarak gösterilen ne­per logaritma fonksiyonu elde edi­lir.

Bütün öbür logaritma fonksiyonları neper logaritma fonksiyonuyla oran­tılıdır. Daha açık olarak, her f loga­ritma fonksiyonu için, f(a) = 1 olacak biçimde, tam olarak gerçek tek bir a sayısı vardır; ayrıca, a, 1’den farklı­dır. Bu durumda f(x) = ’dır.

f a tabanlı logaritma fonksiyonudur ve loga olarak belirtilir. Neper logarit­malarında taban, Neper sayısıdır: e = 2, 718 281 284 590…

Ondalık Logaritma

Sayısal hesapta ondalık logaritmaya başvurulur: Bu, x = 10 olduğu zaman

0 değerini alan, 10 tabanlı logaritma fonksiyonudur. Buradan hemen: logı₀100=2 log 10IOOO = 3, vb. sonu­cu çıkarılır.

Herhangi bir sayının ondalık logarit­ması, artı ya da eksi olan ve karakte­ristik (belirtke) adını alan bir tam bö­lümle mantis (onluk parça) adı verilen kesirli (ondalık biçiminde yuvarlan­mış) bir bölümden oluşur. Karakteris­tik, kolaylıkla hesaplanır. Böylece, x,l’den büyükse karakteristik, virgül­den önce rakamlar toplamının bir eksiğidir. Böyle bir logaritma cetvelin­de, yalnız mantislerin yer almasıyla yetinilir: Günümüzdeki cetveller

1   000’den9 999’a kadar beş ondalık sayılı mantisleri içermektedir.

Uygulamalar

H. Briggs (1618) tarafından bulunan ondalık logaritmalar, üç yüzyıl boyun­ca, sayısal hesapta kullanılan tek ke­sin aracı oluşturdu. 1950’ye doğru bil­gisayarların, 1970’e doğru da elektronik cep hesap makinelerinin ortaya çıkması logaritma cetvellerine göste­rilen ilgiyi azalttı. Bununla birlikte, logaritmaların ilke­si hesap cetvelinde hâlâ kullanılmak­tadır. Hesap cetveli, birbiri üstünde kayabüen iki dereceli cetvelcikten olu­şur. Bunlardaki derecelerin uzunluğu, üstlerindeki sayılarla değil, ama sa­yıların logaritmalarıyla orantılıdır. Böylelikle f yapı dönüşümünün somut bir gerçekleşmesi elde edilir. Kuramsal açıdan, logaritma fonksi­yonları, kullanılan fonksiyonların çoğunun tamamına girerler. Sözgelimi neper logaritma fonksiyonu, R*+ gru­bunun R grubu üstündeki bir eşyapı dönüşümüdür. Demek ki, bu logaritma fonksiyonu, R grubunun R‘+ grubu üs­tündeki bir eşbiçimlemesi olan karşıt bir uygulama kabul eder. Bu karşıt uygulamaya üstel (eksponansiyel) fonksiyon denir ve exp. olarak gösterilir. Her n oranlı tam sayısı için exp n, e" sayısından başka bir şey değildir. Daha genel olarak, her x gerçek sayısı için exp x yerine e^x yazılması­nın nedeni budur. a tabanlı logaritma fonksiyonunun karşıt fonksiyonu da aynı biçimde tanımlanır; exp_a ya da x – a^x ile gösterilen a tabanlı üstel fonksiyon böylece oluşturulur. Loga­ritma fonksiyonları ya da üstel fonk­siyonlar yardımıyla hem güç fonksi­yonları, hem de hiperbolik fonksiyon­lar tanımlanır.