Limit Nedir? Bir Fonksiyonun Limiti

Matematikte değişken bir büyüklüğün istendiği kadar yaklaşabildiği sabit değer.

Limit kavramı Eskiçağ’da Eudoksos’ un hacimler, Arkhimedes’in de alan­lar ve eylemsizlik merkezleri üstünde yaptığı çalışmalarla ortaya çıktı. Böy­lece sözgelimi, bir yüzey, dikdörtgen biçiminde çok küçük ve istendiği ka­dar çok sayıda yüzey parçacıklarına bölünmeye başladı. Sonsuz kavramı­nın geometride kullanılması sonucu, XVII. yy’da sonsuz küçük hesabı or­taya çıktı. Bununla birlikte, doğru bir tanımlama yapabilmek için, XIX. yy’m başında, Augustin Cauchy’nin araş­tırmalarını beklemek gerekti.

Bir Fonksiyonun Limiti

Sezgisel olarak f (x) ile 1 arasındaki fark istendiği kadar küçükse (x, x₀ ‘a yeterince yakın ama x₀ ’dan farklı ol­mak koşuluyla) bir f fonksiyonunun \o noktasında bir 1 limiti vardır. Daha ke­sin olarak, tam artı (pozitif) olan her gerçek e sayısı için, şu koşulu gerçek­leştiren tam artı bir n sayısı vardır: Xo ‘dan başka her gerçek x sayısı için, x ile Xo arasındaki fark, mutlak değer olarak n ‘den küçükse, f (x) ile 1 ara­sındaki fark, mutlak değer olarak e’dan küçüktür. Bir başka deyişle, x, Xo ’a yaklaşırken f ( x ) de l’ye yakla­şır.

Ayrıca, f, x₀ noktasında belirliyse ve bu noktadaki f değeri yalnızca 1 olur­sa, f fonksiyonu x„ ’da süreklidir. Bi­linen fonksiyonların çoğu her nokta­da süreklidir. Ancak herhangi bir fonksiyonun (formüllerle belirlenmiş olmaları gerekmeyen fonksiyonlar) dikkate alınması, her noktada bir li­mit alma zorunluğu taşımayan fonk­siyonlara gitgide daha çok önem ve­rilmesine yol açmıştır.

Limitlerin tanımı, x değişkeninin artı sonsuza (+°=) ya da eksi sonsu­za (- oo) yaklaşması durumuna da uy­gulanır. Böylelikle, tam artı olan her e sayısı için, gerçek bir c sayısı var­sa ve c’den büyük her gerçek x sayısı için f (x) ile 1 arasındaki fark, mutlak değer olarak s’dan küçükse, x, artı sonsuza (+°°) yaklaşırken f fonksiyo­nunun limiti l’dir. Değişken yalnız tam değerleri aldığı zaman, diziler duru­mu ortaya çıkar. Özellikle, n, artı son­suza giderken u„ ’in bir limiti varsa, (un) dizisi yakınsaktır.

Sonsuz limitleri olan fonksiyonlar ya da diziler de olabilir. Bir fonksiyonun limiti (sonlu ya da sonsuz) varsa, bu­nun tek olduğu kanıtlanır.

Fonksiyon çözümlemesindeki gelişme­ler, limit kavramının son derece geniş­letilmesine yol açtı. Böylelikle, yalnız­ca sayı dizilerinin limitleri değil, fonk­siyon dizilerinin limitleri de tanımlan­dı. Artık, süreklilik, türetilebilirlik gi­bi, limite geçişle ilgili özellikler araş­tırılmaktadır. Tasarlanan problemle­re göre, yakınsaklıkla ilgili birçok tanım kullanılır. Sözgelimi, her x noktası için f„ (x) sayısal dizisi yakınsaksa, bir (f„) fonksiyonlar dizisi bir f fonk­siyonuna yönelir. Limit kavramı, XX. yy. başında,yakın kavramlar sayesinde, yukarda sözü­nü ettiğimiz bütün durumların öbeklendirilmesini sağlayan kesin bir çer­çeveye kavuşmuştur.

Hadi Paylaş!